Suites arithmético-géométriques de matrices colonnes

Définition

Soit  \(A\)  une matrice carrée de dimension  \(k\)  (c'est-à-dire une matrice à  \(k\)  lignes et  \(k\)  colonnes) et  \(U_0\)  et \(B\)  deux matrices colonnes (ou vecteur) de dimension  \(k\) .

La formule de récurrence  \(U_{n+1}=AU_n+B\)  permet de définir une suite arithmético-géométrique de matrices colonnes.

Étude d'une suite de ce type  

On va procéder comme pour les suites numériques.
Attention, pour les suites numériques de la forme \(u_{n+1}=au_n+b\) , on supposait  \(a≠1\) , ce qui ne posait pas problème puisque  \(a=1\)  correspond à une suite arithmétique.
Ici, la condition est plus restrictive : il faut que la matrice  \(A-I_k\)  soit inversible.
On pose alors  \(C=-(A-I_k)^{-1}B\) , et on définit la suite  \(V\)  telle que pour tout entier naturel  \(n\) , \(V_n=U_n-C\)  .

On peut montrer que la suite  \(V\)  est géométrique de raison  \(A\) .
\(V_{n+1}=U_{n+1}-C\) .

En utilisant la définition de la suite  \(U\) , on a donc :
\(V_{n+1}=AU_n+B-C\) .
Puis on utilise  \(V_n=U_n-C\)  pour calculer  \(U_n=V_n+C\) .
Donc  \(V_{n+1}=A(V_n+C)+B-C\) .
Donc  \(V_{n+1}=AV_n+AC+B-C=AV_n+B+(A-I_k)C\) .
Enfin on remplace  \(C\)  par  \(-(A-I_k)^{-1}B\) .
Ce qui donne  \(V_{n+1}=AV_n+B+(A-I_k)(-(A-I_k)^{-1})B\) \(\)
\(V_{n+1}=AV_n+B-(A-I_k)(A-I_k)^{-1}B\)
\(V_{n+1}=AV_n+B-I_kB\)
\(V_{n+1}=AV_n+B-B\)
\(V_{n+1}=AV_n\)
Donc la suite  \(V\)  est géométrique de raison  \(A\) .

Application pour déterminer le terme général de la suite  \(U\)

\(V_n=A^nV_0\)  donc  \(U_n=A^nV_0+C\)
En remplaçant  \(V_0\)  et  \(C\) , on a donc :  \(U_n=A^n(U_0+(A-I_k)^{-1}B)-(A-I_k)^{-1}B\) .