Suites arithmético-géométriques de matrices colonnes

Définition

Soit  $A$  une matrice carrée de dimension  $k$  (c'est-à-dire une matrice à  $k$  lignes et  $k$  colonnes) et  $U_0$  et $B$  deux matrices colonnes (ou vecteur) de dimension  $k$ .

La formule de récurrence  $U_{n+1}=A{U}_n+B$  permet de définir une suite arithmético-géométrique de matrices colonnes.

Étude d'une suite de ce type  

On va procéder comme pour les suites numériques.
Attention, pour les suites numériques de la forme $u_{n+1}=a{u}_n+b$ , on supposait  $a\ne 1$ , ce qui ne posait pas problème puisque  $a=1$  correspond à une suite arithmétique.
Ici, la condition est plus restrictive : il faut que la matrice  $A-I_k$  soit inversible.
On pose alors  $C=-(A-I_k{)}^{-1}B$ , et on définit la suite  $V$  telle que pour tout entier naturel  $n$ , $V_n=U_n-C$  .

On peut montrer que la suite  $V$  est géométrique de raison  $A$ .
$V_{n+1}=U_{n+1}-C$ .

En utilisant la définition de la suite  $U$ , on a donc :
$V_{n+1}=A{U}_n+B-C$ .
Puis on utilise  $V_n=U_n-C$  pour calculer  $U_n=V_n+C$ .
Donc  $V_{n+1}=A(V_n+C)+B-C$ .
Donc  $V_{n+1}=A{V}_n+AC+B-C=A{V}_n+B+(A-I_k)C$ .
Enfin on remplace  $C$  par  $-(A-I_k{)}^{-1}B$ .
Ce qui donne  $V_{n+1}=A{V}_n+B+(A-I_k)(-(A-I_k{)}^{-1})B$ $$
$V_{n+1}=A{V}_n+B-(A-I_k)(A-I_k{)}^{-1}B$
$V_{n+1}=A{V}_n+B-I_{k}B$
$V_{n+1}=A{V}_n+B-B$
$V_{n+1}=A{V}_n$
Donc la suite  $V$  est géométrique de raison  $A$ .

Application pour déterminer le terme général de la suite  $U$

$V_n=A^n{V}_0$  donc  $U_n=A^n{V}_0+C$
En remplaçant  $V_0$  et  $C$ , on a donc :  $U_n=A^n(U_0+(A-I_k{)}^{-1}B)-(A-I_k{)}^{-1}B$ .